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"Ellipsoidisches" oder: Merkwürdige Befunde beim Betrachten eines Erdellipsoids. (Teil 4)

Als die beiden Applets zum Umgang mit geodätischen Linien erstellt waren (siehe Teil 3), begann ich mit dem Testen - und stieß leider bald auf Widersprüchliches. Zunächst fiel mir der im Teil 3 schon erwähnte Unterschied auf bei der Länge eines Meridianbogens, berechnet über das Applet in Teil 1, und andererseits der Länge der "entsprechenden" geodätischen Linie, also auf gleichem Längengrad vom Äquator bis zu der betreffenden Breite. Ich nannte das ja schon eine "vertrackte Schwäche" meines Applets zur 2. geodätischen Hauptaufgabe und leider habe ich bislang noch keinen Weg zu ihrer Überwindung gefunden.

Jetzt wollte ich zu "einfacher kontrollierbaren" Probekonstellationen übergehen. Da es sich beim Erdellipsoid um ein Rotationsellipsoid (Rotation um die kleine Achse) handelt, sind auch bei den Ellipsoiden die Breitenlinien Kreise, und die Berechnung eines Kreisumfangs - auch die Länge eines Teilbogens - traue ich mir ja zu (2 · Radius · p)!

Beginnen wir mit der Äquatorlinie: Der hier geltende Radius ist gleich der großen Halbachsenlänge (a) des betrachteten Ellipsoids. Beim Bessel-Ellipsoid also 6377397.155 m. Der Äquatorumfang wäre dann (2 · a · p) : 40070368,102 m. Ein Kreisbogen auf dem Äquator vom Längengrad 10° bis zum Längengrad 70° (Längenunterschied DL = 60°) hätte dann eine Länge von 40070368,102 m · 60°/360° = 6678394,684 m.

Beginnen wir also mit der Eingabe für Punkt 1: 0° (nördl. Breite) und 10° (östl. Länge). Der Zielpunkt P2 hat die Koordinaten: 0° n. Br. und 70° ö.L. Bei Betätigen der grünen Schaltfläche resultieren aber: 6681120,377 m. Da diese Länge größer als die Länge des Äquatorkreisbogens ist, kann sie keine geodätische Linie sein!

Es hat sich also ein zweiter "vertrackter Fehler" gefunden! .............. Da kommt nun kaum noch Freude auf!

Mit wenig Hoffnung betrachte ich nun einen anderen Breitenkreis - und schon wird die Sache komplizierter. Nehmen wir einmal den Breitenkreis mit 50° nördl. Breite. Wie groß ist sein Umfang? Das will ich mir anhand einer Skizze der Ellipse verdeutlichen, die bei einem ebenen Schnitt längs eines Meridians entsteht:

Die obige Ellipse liege mit ihrem Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems. Der blau gekennzeichnete Punkt P liege auf dem 50° Breitengrad, d.h. das dort "gefällte" Lot hat zur x-Achse (Äquatorlinie) den Winkel Phi = 50°. Der interessierende Radius des Breitenkreises (rote Linie) hat offenbar die gleiche Länge wie die Linie xP (x-Koordinate des Punktes P). In P hat die Tangente (Schnittbild der Horizontalebene) laut Formelsammlung die Steigung : m = - (b·b·xP)/(a·a·yP). Folglich hat die darauf senkrecht stehende Lotlinie die Steigung mL = -1/m = (a·a·yP)/(b·b·xP). Aus der Schulmathematik wissen wir, dass dieses mL gleich tan(Phi) ist, in unserem Falle ist also mL = tan(50°) = 1,19175.

Wir haben also eine erste Beziehung mit den beiden Unbekannten xP und yP:

Über die Ellipsengleichung erhalten wir für die gleichen Unbekannten die folgende zweite Beziehung :

Die Auflösung des Gleichungssystems liefert uns den gesuchten Breitenkreisradius r zu:

xP = r = 4107363,383817 m

Ein Stück des Kreisbogens von - sagen wir 40° vom Vollkreisbogen - misst also

(2 · xP · p) · 40°/360° = 2867480,585 m = 2867,481 km.

Nun schnell zum Applet für die 2. Geodätische Hauptaufgabe:

Eingabe, Breite(P1) = 50° n.Br., Länge (P1) = 0°, Breite(P2) = 50° n.Br., Länge(P2) = 40° (ö.L.) und das ernüchternde Ergebnis:

Länge der "geodätischen Linie" (gemäß Applet) : L = 2832739,515 m

"Immerhin" wäre hier die vom Applet berechnete Länge kleiner als die Länge des Breitenkreisbogens über die gleiche Längengraddifferenz - aber was heißt das schon? Und, unterstellen wir mal kühn die Richtigkeit des Applet-Ergebnisses, was würde uns dann als neue Erkenntnis zuwachsen?

Das hieße - und das erscheint mir aus meinem räumlichen Vorstellungsvermögen ziemlich unerwartet - der Weg längs eines Breitenkreises wäre auf einem Ellipsoid nicht die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf ihm!

Beim näheren Hinsehen wäre dieser Befund aber so neu doch nicht, denn auch auf einer Kugel ist ja der Großkreisabstand (also der kürzest mögliche Weg) zwischen zwei Punkten auf gleichem Breitenkreis ebenfalls kürzer als der entsprechende Breitenkreisbogen. So sehr sich meine Vorstellung auch dagegen wehrt: Der Weg entlang einem Breitenkreisbogen ist offenbar ein "Umweg"!

Die letzte Behauptung sollte ich noch rasch an einem Beispiel begründen: Nehmen wir eine Kugel vom Radius R. Für sie ist der Radius des Breitenkreises der Breite Br:

rBr = R· cos(Br)

Mithin beträgt der "Abstand auf dem Breitenkreis" bei einem Unterschied in der geogr. Länge von DL :

D_auf_Breitenkreis = 2· p · R · cos(Br) · DL/360°

Die Formel zur Berechnung einer Großkreisentfernung ist etwas "opulenter":

D_Großkreis = R ·acos (sin(Br1) · sin(Br2) + cos(Br1) · cos(Br2) · cos(DL))

wenn, wie in unserem Fall Br1 = Br2 = Br, dann gilt entsprechend:

D_Großkreis = R ·acos (sin(Br) · sin(Br) + cos(Br) · cos(Br) · cos(DL))

Bei zwei Punkten auf gemeinsamem Breitenkreis von Br = 50° und z.B. einer Längendifferenz von 40° beträgt der Quotient

D_auf_Breitenkreis / D_Großkreis = 1,012

d.h. die Entfernung auf dem Breitenkreis ist um etwa 1,2 % größer als auf dem Großkreis und damit eben ein "Umweg"!

Jetzt aber zur Untersuchung der "zweiten vertrackten Stelle" im Applet. Ähnlich wie bei der Situation, wo zwei Punkte auf dem gleichen Meridian lagen, kann man auch hier untersuchen, was sich tut, wenn man den einen Punkt ganz wenig vom Äquator wegrückt:

Die Eingabe von P1: 0° n.Br und 10° ö.Länge und für P2: 0,000000001° n.Br. und 70° ö.Länge ergibt nun immerhin die Länge der kürzesten Verbindungslinie von L = 6678394,684 m, was jetzt sehr genau der oben berechnete Länge des Kreisbogens auf dem Äquator entspricht, nämlich 6678394,686 m! Auch an dieser Stelle genügt also ein minimales Wegrücken des Zielpunktes von der Äquatorlinie - und "schon" rechnet das Applet wieder richtig!

Anhand weiterer Beispiele aus der Literatur (Schödlbauer) erweist sich ansonsten, dass das Applet mit jenen Eingabewerten zu den gleichen Ergebnissen kommt, wie sie dort vorgerechnet sind, und dies gleichermaßen für kleine wie mittlere und große Entfernungen.

Neuerdings kann ich auf mein Applet verweisen, das drei Varianten des Begriffes "Breite" auf einem Ellipsoid aufzeigt und zum Beobachten der Veränderungen beim Spielen mit zwei Schiebereglern einlädt.

Erstellt am 9.12.2003

Zuletzt aktualisiert am 16.05.2004

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