Gewinnen der 7 Helmert-Parameter. Das Programm für Mathcad

Berechnung der 7 Parameter für die Helmert-Transformation (Teil 3)

Die Ermittlung der Transformationsparameter

Die geozentrischen XYZ-Koordinaten im GRS80-Ellipsoid

Die XYZ-Koordinaten im Bessel-Ellipsoid

Diese Zeilen bewerkstelligen die Inversion der Matrix Q :

Die folgende Vorschrift führt n Näherungsschritte zur Bestimmung der 7 Helmert-Parameter durch.
Q ist die Matrix der geozentrischen GRS80-Koordinaten, Z die Matrix der Bessel XYZ-Koordinaten :

Als Ergebnis werden die gesuchten 7 Transformationsparameter für die Helmert-Transformation geliefert :

Meist genügen schon 3 oder 4 Näherungsschritte :

Einige Überlegungen zur Plausibilität können wohl nicht schaden :

Der oberste Wert (Zeile 1 von L) ist der Maßstabsfaktor. Er ist kleiner als 1, bewirkt also eine Verkleinerung. Dies ist leicht einzusehen, wenn man die Größen der beiden Ellipsoide vergleicht. Das GRS80-Ellipsoid hat eine große Halbachse (Entfernung zwischen dem Zentrum und dem Äquator) von a = 6378137 m und eine kleine Halbachse (Distanz zwischen Zentrum und Pol) von b = 6356752.31414 m.

Die große Halbachse des Bessel-Ellipsoids ist um 739.845 m kleiner und seine kleine Halbachse um 673.351 m kleiner. Somit ist einzusehen, dass beim Übergang vom größeren zum kleineren Ellipsoid eine Verkleinerung erfolgt also ein Maßstab kleiner 1 erwartet werden muss.

Die drei untersten Zeilen von L stehen für eine Verschiebung in den drei Achsrichtungen (X,Y und Z) um die das Zentrum des Bessel-Ellipsoids aus dem Massezentrum (=GRS80-Zentrum) in Richtung auf unser Land zu herausgerückt ist. Es erscheint klar, dass das Bessel-Zentrum vom Erdmittelpunkt (=GRS80-Zentrum) aus gesehen etwas in Richtung auf Deutschland hin gerückt sein muss, weil das Bessel-Ellipsoid, das sich unserem Land gut anschmiegen soll, ja kleiner als das GRS80-Ellipsoid ist,. Wenn ich also die Kartesischen Koordinaten dises Bessel-Zentrums (XB=0, YB=0 und ZB=0) unter Bezug auf das GRS80-Zentrum (XG=0, XG=0 und ZG=0) berechnen will, dann muss ich zunächst um 574.1057 m in Richtung der X-Achse des GRS80 Ellipsoids - also vom GRS80-Zentrum in Richtung auf den Äquatorschnittpunkt mit dem Nullmeridian (Längengrad 0) verschieben. Dadurch erhält der verschobene Punkt aber die neue GRS80-X-Koordinate + 584.883 m. Wenn daraus im Bessel-System wieder XB=0m werden soll, dann ist eben der Wert XG=584.883 m um 584.883 m zu verkleinern. So ist also der Parameter -584.883 zu verstehen. Die Y-Achse des GRS80-Systems führt vom Zentrum zum Schnittpunkt des 90. Längengrads mit dem Äquator. Da Deutschland auf "östlichen" Längengraden liegt ist klar, dass nach der Rückung auf der X-Achse eine Rückung nach Osten, also in Richtung zu größeren Y-Werten, folgen muss. Daher also analog zu obigen Überlegungen auch ein negativer Wert in der 6. Zeile von L (-76.4959). Da wir im Übrigen auf der Nordhalbkugel liegen, ist auch der negative Wert in der letzten Zeile (-402.6608) einleuchtend. Das Besselzentrum hat also vom GRS80-Zentrum aus beschrieben die Koordinaten XG=584.883 m, YG=76.4959 m und ZG=402.6608 m - und im Bessel-System natürlich die Koordinaten XB = 0m, YB = 0m und ZB = 0m. Und kurz noch weiter : Das Bessel-Zentrum ist uns um 714.196 m näher als das GRS80-Zentrum, das ja im Massezentrum ("Erdmittelpunkt") zu denken ist (Begründung über den "räumlichen" Pythagorassatz).

Die Zeilen 2 bis 4 enthalten Informationen über die nach der Verschiebung des Zentrums noch erforderlichen Drehungen um die drei Kartesischen Achsen. Diese Werte sind ziemlich klein und nicht unmittelbar einleuchtend, wie ich finde. Es bedeutet aber zum Beispiel der negative Winkelwert in Zeile 2 (gemessen wird hier im Bogenmaß, nicht wie meist in Winkelsekunden), dass beim Blick vom Schnittpunkt des Äquators mit dem Nullmeridian zum Erdzentrum hin die Drehung um die X-Achse in der Gegenrichtung des Uhrzeigers vorzunehmen ist - wenn ich das richtig verstanden habe!

Lassen Sie mich noch anmerken, dass ich hiermit ein Bessel-Ellipsoid so gelagert habe, dass es bei der Umformung der Koordinaten zu möglichst kleinen Widersprüchen kommt. Die charakteristischen Maße des Ellipsoids habe ich also nicht verändert, nur seine Lage und Orientierung ist für den Bereich meiner Passpunkte optimiert (im Sinne minimaler Abweichungsquadrate).

Literatur :