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Krümmung, was mag das wohl bedeuten ?

Einen Ansatz zur Klärung hat man vielleicht schon gefunden, wenn man sich erst mal klarmacht, welche vertrauten geometrischen Gebilde nicht krumm sind, also eine Krümmung von 0 aufweisen: Das ist z.B. sicher eine Gerade, aber ebenso sicher ist auch eine Ebene nicht gekrümmt.

Wenn es danach um möglichst einfache Beispiele für "Gekrümmtes" geht, wird man nach Gebilden suchen, die überall die gleiche Krümmung aufweisen. Es fallen einem sofort ein: Der Kreis und die Kugel als Beispiele für zwei- und dreidimensionale Figuren mit konstanter Krümmung.

Auch einen ersten Ansatz zur Frage nach der relativen Größe der Krümmung bieten einem der Kreis und die Kugel: Ein Kreis mit einem großen Radius wird wohl einen weniger stark gekrümmten Verlauf haben als ein Kreis mit kleinem Radius. Entsprechend wird man der Kugel mit dem kleineren Radius die stärkere Krümmung zuschreiben.

Bei der Recherche im Internet findet man dann auch bald, dass man als Maß für die Krümmung eines Kreises den Kehrwert des Radius verwendet. Ein Kreis mit dem Radius 5 ist also doppelt so stark gekrümmt wie ein anderer mit dem Radius 10 ( 1/5 = 2 · 1/10 ).

Angesichts dieser Vorinformationen wird einem der nächste Schritt einleuchten. Man versucht nämlich als Maß für die Krümmung einer Kurve an einer bestimmten Stelle den Kreis zu benennen, der sich an der betreffenden Stelle "so krümmt", wie die Kurve selbst. Der Kehrwert seines Radius wird die Krümmung der Kurve an dieser Stelle charakterisieren. Man nennt diesen Kreis dann, bei aller Problematik, die im Einzelnen noch aufscheint , den Schmiegekreis an die Kurve (an dieser Stelle).

Mit derlei Informationen aus dem Internet versorgt, kann man vielleicht trotzdem noch einen eher "anschaulichen" Zugang zum Begriff "Krümmung" nachreichen. Diese Absicht verfolge ich mit dieser Seite - nicht etwa den Versuch, unzähligen sicher fundierteren Erklärungen noch eine weitere, weniger überzeugende, hinzuzufügen.

So empfehle ich zunächst im Hinblick auf das Thema Krümmung von Ellipsenbögen das Spielen mit diesem Applet.

Was mich selbst daran zunächst überraschte war, dass die Schmiegekreise - außer am Pol und am Äquator - im jeweiligen Kurvenpunkt den Ellipsenbogen durchaus schneiden. Das schien mir zunächst eine "sprachliche Klaffung" zum sonstigen Verständnis des Wortes "anschmiegen". Ich denke, dass in unserer heutigen "Kuschelkultur" auch manch anderer Mitmensch den Begriff Schmiegekreis so (miss)interpretiert haben mag, dass dieser auf keinen Fall die Kurve an die er sich anschmiegen soll, dort auch schneiden dürfte! Wenn Sie also liebenswürdigerweise zunächst akzeptieren wollten, dass die Kreise wirklich Schmiegekreise sind, könnte diese Beobachtung vielleicht einen kleinen Gewinn an Anschaulichkeit erbringen.

In diesem zweiten Applet zum Thema Krümmung habe ich eine etwas abwechslungsreichere Kurve gewählt, auf der aber wieder die Krümmungskreise auf der Kurve in dem zugänglichen Intervall abgebildet werden. Jetzt sind auch gleich noch die Krümmungswerte als Zahlen abzulesen. Dass die Krümmungswerte auch ein Vorzeichen haben, lenkt vielleicht die Aufmerksamkeit auf die Frage, an welchen Kurvenstellen diese Vorzeichen wechseln (Stichwort: Wendepunkte). Die an diesen Stellen überdies zu beklagenden "Unartigkeiten" der abgebildeten Schmiegekreise sind wohl Auswirkungen der hier nicht mehr ausreichenden Genauigkeit der Zahlenwerte (z.B. Rundungsfehler).

Mit diesem dritten Applet kann man versuchen, die Krümmung eines Ellipsenbogens richtig einzuschätzen und einen entsprechenden Schmiegekreis "per Augenmaß" an einer wählbaren Stelle eines Ellipsenbogens anzulegen. Ich selbst musste leider feststellen, dass ich insbesondere bei der Wahl des richtigen Krümmungsradius oft ziemlich arg daneben liege. Vielleicht können Sie das ja besser! Zur besseren Kontrolle werden für den jeweiligen gemeinsamen Punkt von Ellipse und Kreis auch noch die Zahlenwerte für die erste und die zweite Ableitung eingeblendet und vermitteln dem Suchenden, dass der Schmiegekreis offenbar am gemeinsamen Punkt mit der Ellipse sowohl die erste wie auch die zweite Ableitung mit der Ellipse dort gemeinsam hat.

Es reift also die Erkenntnis: Der Schmiegekreis für einen Kurvenpunkt hat mit der Kurve folgende Gemeinsamkeiten:

  1. Die Koordinatenwerte (x- und y-Werte) stimmen überein (gemeinsamer Punkt).
  2. Die Steigungen an dieser Stelle sind für die Kurve und den Kreis gleich (die Werte für die ersten Ableitungen sind dort für Kurve und Kreis gleich).
  3. Auch die Werte für die zweiten Ableitungen sind an der betreffenden Stelle gleich.

Hier habe ich noch ein Applet fabriziert, das den Begriff "Schmiegeebene an eine nicht ebene Kurve" veraunschaulichen soll.

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Diese Seite wurde erstellt am 24.02.2004.

Letzte Aktualisierung: 30.03.2004.