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Verlauf eines vom Zufall bestimmten Kugelspiels.


Die obige Aufzeichnung eines solchen Zufallsexperiments, das nach den beschriebenen Regeln des Kugelspiels abgelaufen ist, ging von den folgenden Start-Anzahlen der 4 Kugelsorten aus:

A0 = 1000, B0 = 1000, C0 = 100, D0 = 600

Es ist außerdem deutlich zu sehen, wie nach Erreichen des Gleichgewichts die Teilchenzahlen zwar noch schwanken, aber keine Tendenz in eine grundsätzlich neue Richtung mehr zeigen. In der obigen Abbildung sind übrigens die A- und die D -Teilchenzahlen nach jeweils 100 Ziehungen aufgezeichnet, also der Verlauf über insgesamt 300 · 100 = 30000 Zufallsziehungen festgehalten.

Zur Programmierung : Auch bei größter Geduld wäre kaum jemand bereit, die Ausführung eines tatsächlichen Zufallsexperimentes der beschriebenen Art über 30000 Ziehungen durchzuhalten. Es ist also klar, daß dabei die Hilfe eines Rechners gefordert ist. Es wird demgemäß die Ziehung eines Kugelpaares durch Erzeugung von gleichverteilten Zufallszahlen simuliert. Dazu werden unmittelbar nacheinander 2 Zufallszahlen (zwischen 0 und 1) generiert und dann überprüft, welche Kugelarten damit "erwürfelt" wurden. Die Entscheidung geschieht so, daß das Gebiet zwischen 0 und 1 entsprechend den gerade vorhandenen Teilchenzahlen A,B,C und D aufgeteilt wird. Mit den oben genannten Startzahlen heißt das zum Beispiel: Zahlen von 0 bis 0.37 bedeuten daß ein A-Teilchen gezogen wurde, weil bei 1000 A-Teilchen in einer Gesamtzahl von 2700 Teilchen der Quotient 0.37 beträgt. Eine Zufallszahl zwischen 0.37 und 0.74 würde einem B-Teilchen entsprechen (also von 1000/2700 bis 2000/2700). Eines der 100 C-Teilchen gilt als erwürfelt, wenn die Zufallszahl zwischen 0.74 und 0.778 (=2100/2700) liegt. Ist schließlich eine Zahl darüber erwürfelt, gilt ein D-Teilchen als bestimmt.

Wenn also zum Beispiel Z1 = 0.23, Z2 = 0.59 gewürfelt wurde, wird dies als Zusammenstoß eines A- mit einem B-Teilchen interpretiert. Es wird "zu einer Reaktion führen" und demgemäß werden die A- und B-Teilchenzahlen um je eines verringert und die C- und D-Teilchen um je eines vermehrt. Damit ist es jetzt, entsrechend der kleiner gewordenen Anzahlen von A und B, ein klein wenig unwahrscheinlicher geworden, erneut ein A- und B-Teilchen zu erwürfeln. Dies ist auch in unserem Spiel so, weil ja angesichts der neuen Teilchenzahlen auch die Interpretations-Grenzen neu gezogen werden. Ein A-Teilchen gilt nämlich jetzt als erwürfelt, wenn die neue Zufallszahl zwischen 0 und 999/2700= 0.37000 liegt. Das ist etwas weniger als vorher 1000/2700=0.37037 und somit ist es eben auch ein bißchen weniger wahrscheinlich, daß dieses Ereignis eintritt.

Wenn jetzt vielleicht Z1=0.75 und Z2=0.78 betragen, heißt das, es sollen nun ein C- und ein D-Teilchen zusammengetroffen sein [weil (999+999)/2700 < 0.75 < (999+999+101)/2700 und (999+999+101)/2700 < 0.78]. In diesen Fall werden nun die C- und D-Teilchen um je eines vermindert und die A- und B-Teilchen um je eines vermehrt, es ist also eine elementare Rückreaktion erfolgt. In allen anderen Fällen, z.B. wenn 2 B-Teilchen oder ein A und ein C-Teilchen oder 2 D-Teilchen erwürfelt werden, wird das jeweils als ein wirkungsloses Zusammenstoßen ungeeigneter Teilchen interpretiert und die Teilchenzahlen bleiben in solchen Fällen dementsrechend unverändert.

Weil angesichts dieser Spielregeln sich also die Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen "erwürfelt zu werden" gemeinsam mit den Teilchenzahlen verändert, verhält sich das System so, daß die Teilchenzahlen einem Gleichgewicht zustreben. A- B-Ziehungen sind anfänglich häufig und werden - wegen der geringer werdenden Anzahlen an diesen Teilchen - seltener. Andererseits nimmt aber die Wahrscheinlichkeit, daß C- und D-Teilchen getroffen werden zu und damit kommt es zu einem Anwachsen der Umsetzungen in rückwärtiger Richtung, also von C- und D- nach A- und B.

Wenn es schließlich, bei entsprechenden Teilchenzahlen, gleich wahrscheinlich geworden ist, daß Umsetzungen in beide Richtungen erwürfelt werden, dann wird es im Durchschnitt auch gleich häufig vorkommen. Das bedeutet aber, daß sich von diesem Zeitpunkt an die Teilchenzahlbilanz nicht mehr wesentlich ändert. Wie bei einem chemischen Gleichgewicht strebt nämlich auch unser Kugelspiel bei zufälligen Abweichungen wieder zum ausgeglichenen Zustand zurück, weil bei größer werdender Abweichung die rücktreibende Tendenz mitwächst.

Es können die Umsetzungen in beide Richtungen nun noch in unterschiedlichem Maß "ausgebremst" werden, indem man durch zwei weitere Zufallszahlen entscheiden läßt, ob eine geeignete Kombination (A und B) auch tatsächlich eine Umsetzung zur Folge haben darf. Man wird also nur in einem vorbestimmbaren Maß Umsetzungen in hinwärtiger Richtung geschehen lassen - also zum Beispiel nur dann, wenn die Zufallszahl für die Richtung von A und B nach C und D (hinwärtige Richtung) kleiner als z.B. 0.66 ist. Eine entsprechende Regelung kann man auch für die rückwärtige Reaktionsrichtung festlegen, also etwa die Grenze 0.33. Dadurch werden die Umsetzungen in der Hin-Richtung und in der Rück-Richtung unterschiedlich stark gebremst. Es kommt so zu Gleichgewichten mit Gleichgewichtskonstanten ungleich 1, im obigen Fall z.B. K = 0.66/0.33 = 2. Dieses Kugelzahlgleichgewicht liegt also stärker auf der Seite der C- und D-Kugeln, weil die Rückreaktion stärker gehemmt ist.

Die erwarteten Kugelzahlen für unser oben gewähltes Beispiel (hier ist ja K=1) lassen sich berechnen und sollten ( K = 1 ) betragen:

A = B = 652 und C = 448 und D = 948.

Wie aus der Grafik ersichtlich, hat sich das Gleichgewicht auch tatsächlich ungefähr auf diese Teilchenzahlen eingespielt.

Zur Kontrolle : 448 · 948 / (652 · 652) = 0.99906 , also recht genau 1 .

 

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Letzte Aktualisierung : 04.11.2002