zurück

weiter

Die systematische Weg über Passpunkte zur Überführung der S1-Punkte ins S0-Koordinatensstem.

Als Passpunkte dienen die folgenden sechs Punkte, die von den beiden Positionen S0 und S1 aus gemessen wurden.
Punktnummer
Von S0 aus gemessen
Von S1 aus gemessen
X
Y
Z
X
Y
Z
4
28.072
-0.768
4.620
2.603
15.834
3.574
8
18.792
1.381
5.466
3.885
25.237
4.434
12
7.393
2.660
5.404
4.083
36.702
4.353
13
13.815
1.737
5.439
3.766
30.264
4.396
45
2.501
3.789
5.414
4.745
41.682
4.362
252
9.428
11.069
25.903
12.677
35.427
24.849

Die sytematische Suche nach den optimalen Parametern, mit denen man die von S1 aus gemessenen Werte möglichst nahe an die Werte "herantransformieren" kann, die von S0 bestimmt wurden, läuft nach der sog. Methode der kleinsten Quadrate. Dabei findet man für die folgenden Größen je einen Zahlenwert:

                    1. Maßstabsfaktor S
                    2. Drehwinkel um die x-Achse rx
                    3. Drehwinkel um die y-Achse ry
                    4. Drehwinkel um die z-Achse rz
                    5. Verschiebung in x-Richtung DX
                    6. Verschiebung in y-Richtung DY
                    7. Verschiebung in z-Richtung DZ

Die Methode verläuft über einen Näherungsprozess und man beginnt mit möglichst plausiblen Anfangs-Schätzwerten für die obigen Parameter. Im anstehenden Fall komme ich auf folgendem Weg zu solchen Startwerten:

Ich kann davon ausgehen, dass mein Tachymeter zuverlässige Distanzmessungen liefert und außerdem ist anzunehmen, dass beim Wechseln von Position S0 nach Position S1 die Abmessungen des Gebäudes unverändert bleiben. Es ist also vernünftig, wenn ich von einem Maßstabsfaktor 1.000 als Näherung für den S-Wert ausgehe.

Wegen der sorgfältigen Horizontierung des Instruments in beiden Positionen nehme ich weiterhin für rx und ry die Werte 0° an. Für rz nehme ich den schon erwähnten Schätzwert von 91.7° an. Für DX gebe ich die geschätzten 45.21m, für DY= -0.57m und für DZ=1.05m vor (siehe letzte Seite).

Im Verlauf des Näherungsprozesses konvergieren die vorgegebenen 7 Parameter - wenn mir das Glück hold ist, oder anders ausgedrückt, wenn es sich bei meinen Passpunkten um ein "gutmütiges Punktesystem" handelt - hin zu Endwerten, die sich bei weiteren Iterationsschritten kaum mehr verändern. Es erweist sich, dass eine Transformation mit diesen Parameterendwerten zu einer optimalen Einpassung der S1-Punkte in das S0-System führt, in dem Sinn, dass die Summe der quadrierten Abweichungen minimal wird.

Nachfolgend können Sie sich ansehen, wie der Vektor mit den ursprünglichen Schätzwerten zu einem Vektor mit optimierten Parameterwerten hingeführt wird.

Parameterart
Startwerte der 7 Parameter
Endwerte der 7 Parameter
S (Maßstab)
1
1.00084
rx (Drehg. um x-Achse)
0.12°
ry (Drehg. um y-Achse)
-0.19°
rz (Drehg. um z-Achse)
91.7°
+84.61° (nach links)
DX (Verschiebg. in x-Richtung)
45.21m
43.6075m
DY (Verschiebg. in y-Richtung)
-0.57m
-4.84487m
DZ (Verschiebg. in z-Richtung)
1.05m
1.12189m

Wenn man die sieben Parameter-Endwerte und die kartesischen Koordinaten der von S1 aus gemessenen Punkte gemeinsam in den Vorgang der Transformation einbringt, dann erhält man für die gemessenen Punkte die zum S0-System passenden kartesischen Koordinaten.

Für eigene Versuche und zur Nachprüfung obiger Resultate finden Sie hier ein Applet als Rechenhilfe

Wenn Sie mit einer ganzen Reihe von Punkten und mit einer selbst getroffenen Auswahl von Transformationsparametern eine Helmerttransformation berechnen lassen wollen,

dann kann ich Ihnen dieses Applet zum Ausprobieren vorstellen.

 

Die über Schätzwerte gelaufene Transformation enthält noch Klaffungen (grüne Pfeile an den von beiden Positionen gemessenen Punkten)

Wenn mit den optimierten Parametern transformiert wird sind die oben noch deutlichen Klaffungen verschwunden.

Die Gewinnung der sieben Parameter und der Algorithmus für die Transformation sind mit dem Algebrasystem "Mathcad" erstellt worden und werden hier dargestellt.

Diese Seite wurde erstellt am 12.11.2007

Letzte Aktualisierung: 11.12.2007