Flächenbestimmung von Polygonen über das Auszählen gleichverteilter Zufallspunkte. Eine Anleitung folgt unten.

Anleitung.

Der Ort für das Spiel mit den Zufallspunkten ist das obige weiße Quadrat. Es hat eine Breite und eine Höhe von je 800 Pixeleinheiten. Die gesamte Versuchsfläche beträgt also 640000 "Quadratpixel".

Zuerst werden auf dem quadratischen Feld mit der Maus die Eckpunkte für ein frei gewähltes Vieleck (Polygon) gesetzt. Dazu bewegt man den Mauscursor auf die ausgewählten Positionen und klickt dort jeweils die Maustaste. Es erscheint dann an der betreffenden Stelle ein kleines Kreuzchen in roter Farbe.

Wichtig ist, dass man die Reihenfolge seiner Punkte durchgehend entweder im Uhrzeigersinn oder im Gegensinn des Uhrzeigers setzt!

Wenn alle Punkte sitzen, wird die Schaltfläche "Start mit gewähltem Polygon" angeklickt. Dadurch werden die Polygonpunkte über rote Linien zum geschlossenen Polygon verbunden und sogleich die Vieleckfläche über die Gaußsche Flächenformel berechnet und in der entsprechenden Textzeile angezeigt.

Das Zufallsexperiment wird bestimmt durch eine frei wählbare Versuchszahl, die man in der rötlich hinterlegten Textzeile festlegen kann. Vorgegeben sind dort vom Applet anfänglich 500000. Das bedeutet, dass immerhin eine halbe Million zufällige Einzelpunkte (jeweils ein x-Wert und ein y-Wert) "erwürfelt" werden. Die Punkte erscheinen dann alle auf dem quadratischen Feld und sollten die Gesamtfläche in möglichst gleichmäßiger Dichte bedecken.

Punkte, die in die Fläche des Polygons fallen, werden jeweils in roter Farbe gezeichnet, während die anderen Punkte schwarz erscheinen.

Das Erzeugen der Zufallspunkte wird durch Anklicken der Schaltfläche "Zufallspunkte setzen" eingeleitet. In der Textzeile darunter erscheint am Versuchsende die Anzahl derjenigen Punkte, die in die Polygonfläche gefallen sind (rote Punkte). Die Summe aller Punkte (der roten und der schwarzen) entspricht der gewählten Versuchsgesamtzahl in der rötlich hinterlegten Textzeile.

Wenn man davon ausgehen kann, dass die Dichte der Versuchspunkte auf der Quadratfläche überall annähernd gleich ist, dann wäre zu erwarten, dass sich die Anzahl der roten Zufallspunkte zur Gesamtzahl aller Punkte in etwa so verhalten müsste, wie die Größe der Polygonfläche zur Gesamtfläche des Quadrats.

Aus dem Verhältnis der roten Punkte zur Gesamtzahl der Punkte und der bekannten Fläche des Quadrates lässt sich somit ein geschätzter Flächeninhalt des Polygons berechnen. Dieser wird in der Textzeile "Fläche aus den Punktzahlen" angezeigt und kann mit der aus der Flächenformel ermittelten Fläche verglichen werden. In der folgenden Textzeile wird auch die "Prozentuale Abweichung vom Gauß-Wert" also von der Gaußschen Fläche angezeigt.

Um das Obwalten des Zufalls besser verfolgen zu können, ist es anzuraten, die Schaltfläche "Neuer Lauf" noch einige weitere Male anzuklicken und sich anzusehen, in welchem Rahmen die prozentualen Abweichungen schwanken. Die Bilanz einer längeren Versuchsfolge wird im Textbereich "Bilanz der Abweichungen" protokolliert und schließlich wird über die Schaltfläche "Auswertung" den Daten noch eine kleine Minimalstatistik angefügt. Durch Klicken in diesen Textbereich kann am Ende der Inhalt des Fensters ausgewählt und über die Zwischenablage in eine Textverarbeitung kopiert und von dort bei Bedarf abgespeichert werden.

Wenn Versuche mit anderen Polygonen nachfolgen sollen, kann dies über die Schaltfläche "Neues Polygon erzeugen" eingeleitet werden.

Und hier noch ein Vorschlag zum systematischeren Prüfen des Einflusses von unterschiedlich großen Anzahlen der Zufallspunkte. Es ist ja vielleicht naheliegend, dass bei höheren Punktzahlen die Abweichungen der über Auszählen ermittelten Vieleckflächen von der jeweiligen "wahren" Flächengröße eher kleiner ausfallen dürften. Natürlich sollten diesbezügliche Versuche dann auch mit jeweils dem gleichen Polygon durchgeführt werden, und das geht so:

  1. Punkte des Polygons mit der Maus setzen.
  2. Schaltfläche "Start mit gewähltem Polygon" erzeugt das geschlossene Vieleck.
  3. Gewünschte Anzahl von Zufallspunkten in der rot unterlegten Textzeile auf kleinen Wert setzen, also z. B. 50000.
  4. Schaltfläche "Zufallspunkte setzen" - es wird ein erster Lauf mit dieser Anzahl zufällig gesetzter Punkte ausgeführt.
  5. Jetzt noch z. B. 19 weitere Male die Schaltfläche "Neuer Lauf" anklicken. Es entsteht die erste Serie von 20 Testläufen und die Ergebnisse werden im Textbereich "Bilanz der Abweichungen" protokolliert.
  6. Die Schaltfläche "Auswertung" fügt dann noch die "kleine Statistik" an. Der Wert der Standardabweichung kann dort als "Qualität" der ersten Testreihe aufgefasst werden.
  7. Durch ein Anklicken im Bilanz-Textbereich wird das Protokoll in eine Textverarbeitung übertragen und abgespeichert.

Nun folgt die nächste Testreihe mit dem gleichen Polygon aber einer größeren Anzahl von Testpunkten:

  1. Schaltfläche "Start mit gewähltem Polygon" erzeugt das gleiche geschlossene aber wieder leere Vieleck ohne Zufallspunkte.
  2. Die gewünschte Anzahl der Zufallspunkte wird jetzt z. B. auf 500000 verzehnfacht.
  3. Fortsetzung wie oben beschrieben unter den Ziffern 4 bis 7 (wieder insgesamt gleichviele Testläufe wie in der ersten Testreihe (also z. B. wieder 20).

In einer dritten Testreihe wiederholt man alles nochmal, jetzt aber mit z. B. fünf Millionen Testpunkten und wieder mit einer Serie von 20 Testläufen.

Es ist vielleicht spannend zu sehen, ob sich über die jeweiligen Standardabweichungswerte bei höheren Testpunktzahlen wirklich bessere Schätzwerte für die Größe der Polygonfläche ergeben, ob also die Standardabweichungen kleiner werden.

Anmerkung: Erst im Laufe meiner eigenen Spiele mit dem Applet habe ich bemerkt, dass die Berechnung der Polygonfläche über die von mir implantierte Version der Gaußschen Flächenformel in einigen Fällen grob versagte. Es stellte sich heraus, dass dies immer dann passierte, wenn es sich um Polygone mit Verschränkungen handelte, wenn sich also mindestens zwei der Polygonkanten schneiden. Für diese Fälle muss ich die Flächenberechnung also schuldig bleiben. Immerhin kann man aber wenigstens noch eine Näherung über das Auszählen der roten Punkte erhalten.

 

Diese Seite wurde erstellt am 08.01.2015

Letzte Aktualisierung: 19.01.2015
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