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Reflektorlose Distanzmessung lädt ein zum "experimentellen Vektorrechnen".

Seit einigen Tagen besitze ich endlich ein Tachymeter mit der schönen Möglichkeit zur reflektorlosen Distanzmessung. Man zielt z.B. einen Punkt auf einer Wandfläche an, löst die Messung aus und erhält neben den üblichen Werten des Horizontal- und des Vertikalwinkels auch gleich noch die Schrägdistanz zum Zielpunkt - ganz ohne dass sich dort eine reflektierende Folie oder ein Reflektorprisma befinden müsste!

Wenn einen so etwas nicht zum Spielen reizen soll, muss man schon hoch über den Dingen stehen - folglich reizte es mich, und das jetzt schon einige Tage - gewaltig!

Will man sich die angezielte Stelle an der Wand auch ohne Blick durch das Fernrohr sichtbar machen, so bietet das Gerät noch einen zuschaltbaren Laser, der eine Lasermarke an die Zielstelle projiziert. Jetzt drängt sich einem der Gedanke eines Ortsvektors vom Gerät zum Zielpunkt doch ziemlich zwanglos auf. Was mich selbst angeht, so habe ich mich mit dem Vektorrechnen leider nie befasst, fühlte mich aber jetzt zu mancherlei Blicken ins Lehrbuch animiert. Wieder einmal der Eindruck: Was hat man da alles verpasst!

Bei näherem Hinsehen entdeckte ich zu meiner Freude, dass das Gerät neben den beiden Winkeln und der Schrägdistanz auch gleich den besagten Ortsvektor zum Zielpunkt mitliefert. Den Weg von den drei Angaben Horizontalwinkel, Vertikalwinkel und Schrägdistanz zu den Koordinaten des Zielpunktes habe ich mit folgender Skizze veranschaulicht :

Nach dem Einschalten des Laserpunktes kann man die Situation in aller Ruhe fotografieren und danach die Messung auslösen. Als Ergebnis erhält man den Horizontalwinkel in Bezug auf eine vorher willkürlich festgelegte Bezugsrichtung, den Zenit- oder Vertikalwinkel, die Schrägdistanz vom Gerät zum Laserpunkt an der angezielten Stelle - sowie die Koordinaten X, Y und Z (in Meter), was ich als den Ortsvektor des Zielpunktes interpretiere.

So nahm ich meine Versuche in folgender Situation vor :

Nachfolgend erscheinen die ersten 5 Fotos, die die Punktaufnahme von 5 Punkten auf einer schiefen Wandfläche festhalten. Die Ergebnisse, die vom Tachymeter geliefert wurden, sind gleich mit eingeblendet in der Reihenfolge von links nach rechts: Punktnummer, Horizontalwinkel in gon, Vertikalwinkel in gon, Schrägdistanz in Meter, X-Koordinate, Y-Koordinate und Z-Koordinate (jeweils in Meter). In der gewählten Verkleinerung sind die Laserpunkte kaum sichtbar und daher rot eingekreist und mit einem Pfeil gekennzeichnet.

Jetzt 5 Punkte auf der benachbarten Wandfläche

Die folgenden 5 Punkte liegen auf der Kante zwischen beiden Flächen

 

Die ersten 5 Punkte liegen auf einer "gemeinsamen" Ebene, das ist auf den Bildern ja leicht erkennbar. Kommt aber, so fragte ich mich, diese Gemeinsamkeit auch in den Koordinaten dieser Punkte so augenfällig zum Vorschein?

Punkt 100
Punkt 101
Punkt 102
Punkt 103
Punkt 104
X (m)
0.712
1.308
1.051
1.277
0.605
Y (m)
4.461
4.144
3.330
2.472
5.472
Z (m)
0.049
-0.448
0.349
0.614
-0.447

Da fällt mir übrigens noch eine Frage ein: Liegt vielleicht auch der "Schwerpunkt" in der gleichen Ebene. Unter Schwerpunkt verstehe ich hier einfach einen Punkt, der als Koordinaten die Mittelwerte der X, Y- und Z-Werte der Punkte 100 bis 104 hat, also der Punkt mit dem Ortsvektor

X (m)
0.991
Y (m)
3.976
Z (m)
0.023

Meine "Erfahrungen" mit Regressionsgeraden legen den Schluss eigentlich nahe.

Ich muss gestehen, dass mir an diesen 5 Zahlentripeln (Ortsvektoren vom Instrument zu den 5 Laserpunkten an der Wand) keine Gemeinsamkeit auffällt, außer einigen Banalitäten: Alle Punkte liegen rechts von der Bezugsrichtung (positive X-Werte), alle liegen "vor dem Instrument" (positive Y-Werte), manche liegen höher als das Instrument (positive Z-Werte), manche liegen tiefer (negative Z-Werte) - aber sonst?

Da hilft nur ein Blick ins Lehrbuch. In einer gemeinsamen Ebene liegend, das heißt vornehmer ausgedrückt "koplanar". Folglich schaute ich in allen Mathebüchern, die ich greifen konnte unter diesem Stichwort nach - leider fand ich aber in keinem meiner schlauen Bücher diesen Begriff!

Es dauerte eine ganze Zeit, bis ich merkte, dass die Mathematiker in Deutschland dafür den Begriff "komplanar" gebrauchen. Immerhin ist ja ganz interessant, dass in der Chemie und in der (deutschen) Mathematik für den gleichen Sachverhalt zwei unterschiedliche Fachwörter im Gebrauch sind. In der angelsächsischen Mathematikliteratur ist dann aber auch wieder von "coplanar" die Rede.

Eine weitere Komplikation erwartete ich überdies, denn ich durfte ja sicher nicht hoffen, dass die 5 Punkte wirklich ganz genau komplanar sein würden. Da musste sicher mit Messungenauigkeit ebenso wie mit handwerklich nicht ganz exakter Ausführung gerechnet werden. Ich durfte also gespannt sein!

Vielleicht ließe sich ja so etwas wie eine "Regressionsebene" finden, bei der die (hoffentlich) kleinen Widersprüchlichkeiten optimal - also nach dem Prinzip der kleinsten Quadrate - ausgeglichen sind.

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Diese Seite wurde erstellt am : 28.05.2003

Letzte Aktualisierung : 1.06.2003