Transformation der von S1 gemessenen Punkte in das Punktesystem der von S0 aus gemessenen Punkte
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Zur Entdeckung möglicher Fehler beim Abschreiben der Koordinaten lasse ich alle Abstände zwischen den Passpunkten aus beiden Messreihen berechnen und vergleichen.

 

 
Mit den folgenden Programmabschnitten werden in Mathcad die einzelnen Aufgaben bewältigt:
Inversion der Matrix Q

Mit nebenstehendem Programm wird eine Näherung n mal durchlaufen.

Dabei werden die vorgegebenen Schätzparameter N so verbessert, dass nach den n Durchläufen mit den am Ende erzielten Parameterwerten die Transformation der Quellkoordinaten Q in die Zielkoordinaten Z optimale Resultate liefert.

Die zurückgegebenen Parameter stehen dann als Vektor der folgenden Struktur für Transformationsberechnungen zur Verfügung:

Maßstab S
Drehung um die x-Achse rx
Drehung um die y-Achse ry
Drehung um die z-Achse rz
Verschiebung in x-Richtung Tx
Verschiebung in y-Richtung Ty
Verschiebung in z-Richtung Tz

 

Das nebenstehende Programm besorgt die sog. Helmert-Transformation. Dabei wird eine Matrix von kartesischen Quellkoordinaten Q unter Verwendung der sieben Transformationsparameter in P in eine Zielmatrix Z überführt und zurückgegeben.
Mit diesem kleinen Programmschnipsel werden alle Abstände bestimmt, die zwischen den Punkten einer übergebenen Matrix mit kartesischen Koordinaten bestehen. Neben den Abständen werden jeweils die Nummern der beiden Endpunkte zurückgegeben.
Die Näherungsberechnung der sieben Helmertparameter beginne ich mit folgender Anfangsschätzung der Parameter: Die Koordinaten (x,y,z) von jeweils sechs Passpunkten, die aus den Positionen S0 (A) und S1 (B) gemessen wurden:
Als Sicherheitskontrolle zur Vermeidung von Fehlern beim Abschreiben der kartesischen Koordinaten werden alle möglichen Punktabstände im Quell- und im Zielsystem ermittelt und verglichen.

Die Bildung der Differenz zeigt, dass alle Abstände in beiden Systemen brauchbar übereinstimmen. Es ist damit erwiesen, dass beim Abschreiben keine groben Fehler wie etwa Zahlendreher oder Verwechslungen von Zeilen oder Spalten vorgekommen sind.

Gleichzeitig ist aber auch ersichtlich, dass ich doch mit Unsicherheiten von bis zu 4 cm zu rechnen habe.

Die Parameter werden durch folgenden Aufruf berechnet:
und sie lauten:

 

Die Werte rx, ry und rz erscheinen hier im Bogenmaß (als "rad"),

im Gradmaß würden sie lauten:

rx=0.118°, ry=-0.187° und rz=84.609°

 

Die Residuen, also die Unterschiede zwischen den transformierten und den gemessenen Werten der sechs Passpunkte sind klein und zeigen, dass ein ordentliches Ergebnis erreicht wurde:

Man kann also erwarten, dass die von S1 aus gemessenen Koordinaten von insgesamt 38 Punkten in der Quellmatrix Q1 über den Aufruf : T := Trsf(Q1,TP) brauchbar in das System S0 transformiert werden.

Wenn Sie Lust verspüren sollten, die obige Aufgabe nachzuprüfen, können Sie dieses Applet dazu nutzen.

Das folgende Modell zeigt, wie gut nach der Transformation die von S1 gemessenen Punkte jetzt mit den von S0 bestimmten Punkten zusammenpassen. Die Klaffungen zwischen den Passpunkten sind verschwunden. Die violett markierten Punkte auf der Nordseite sind von S0 aus gar nicht sichtbar oder direkt messbar gewesen. Sie stellen also eine wesentliche Bereicherung des vereinigten Modells dar. Man kann jetzt auch ausrechnen, dass die beiden Stationen S0 und S2 (die großen grünen Punkte) eine Schrägdistanz von 43.89 Metern aufweisen - und dies, ohne dass der Punkt S1 von S0 aus überhaupt angemessen wurde! S1 liegt wie man sieht um 1.12 Meter höher als S0.

Diese Seite wurde erstellt am 13.11.2007

Letzte Aktualisierung: 11.12.2007