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Ein durchgerechnetes Beispiel zur Tomographie-Simulation

In einem kleineren (10 x 10 Zellen) Schema soll nachfolgend ein Zahlenbeispiel einzelne Schritte des Verlaufes zeigen, wenn mit den weiter oben beschriebenen Rechenvorschriften das Original bearbeitet wird. Am Ende wird versucht, die "Güte" der Abbildungen statistisch zu erfassen und dadurch zu prüfen, welche Verbesserungen durch kleinere Winkelschritte und durch zahlreichere Wiederholungen erzielt werden können.
 
 

Das Original


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0

0

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128

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255

255

255

255

255

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128

192

192

192

192

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192

192

192

192

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255

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255

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128

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0

0

Wenn das Original in allen 10 Zeilen nach obigen Regeln "gescannt" wird entsteht das erste Bild. Das zweite Bild ist in entsprechender Weise beim Scannen in 10 Spalten entstanden. Dabei ist beim Rechnen zu beachten, dass das allererste  Bild, ich nenne es hier "Urbild", von dem bei diesem Verfahren ausgegangen wird, in allen Zellen nur Nullen enthält. Die Zahlenwerte in der zweiten Zeile des nachfolgenden Bildes entstehen also auf die folgende Weise : Es wird die Summe der zweiten Zeile im Original gebildet (1659). Davon wird die Summe der zweiten Zeile des Urbildes (0) abgezogen und das Ergebnis durch die Zellenzahl in der gescannten Zeile (10) dividiert.  Diese Zahl wird zur nächsten ganzen Zahl gerundet. Ich nenne das Resultat Korrekturwert, und dieser wird nun zu jedem Bildwert in den Zellen der gleichen Zeile hinzuaddiert. Da die Zellinhalte im Urbild noch 0 sind enthalten danach alle Zellen der zweiten Zeile den Wert 166.


 

 Bild nach 10 horizontalen Scans               Bild nach 10 vertikalen Scans

Bild nach hor. und danach vert. Scans             Scans im Winkel von 45 ° (/)

Scans mit flachem Winkel (10°)       Nach 100 Wiederholungen in 8° Schritten

 

Die folgende Tabelle enthält die Differenzen der Zelleninhalte des letzten Bildes und des Originals :
 
 

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0

-1

0

Die Summe der quadrierten Werte aller Zellen beträgt nur noch 26. Die so berechnete Summe der quadrierten Abweichungen kann als statistische "Bildunähnlichkeit" aufgefasst werden, weil große Werte eine geringe Übereinstimmung zwischen Bild und Original bedeuten . So ist leicht zu erkennen, dass bei einer so kleinen Zahl (26) die Ähnlichkeit des Bildes mit dem Original recht hoch ist.

Übrigens : Der Unterschied zwischen dem obigen Original und seinem "Urbild" äußert sich nach diesem Rechenverfahren in einer "Bildunähnlichkeit" von 2233366.

Der Vergleich der Bildgüten zeigt, wie unterschiedlich die Bildqualitäten ausfallen, wenn mit mehr oder weniger großen Winkelschritten und mit unterschiedlich hoher Wiederholungszahl gescannt wird. Die folgenden Tabelle gibt einen kleinen Überblick . Es sind für die jeweiligen Bedingungen die oben erklärten Summen der Abweichungsquadrate aufgeführt und es gilt, daß größere Ähnlichkeiten durch kleinere Zahlenwerte repräsentiert werden :
 

  Schrittweite 45° 30° 15° 10°
Wiederholungszahl           
1   207586 145994 104582 85584
5   113413 40042 13012 1125
10   93177 19947 3610 37
100   60216 1711 233 26

Zur Erläuterung der Schrittweiten sei gesagt : 30° Schrittweite enthält die folgenden Scanrichtungen : 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150° (180° nicht, weil = 0°). Die Wiederholungszahl w besagt, dass bei der betreffenden Schrittweite die Prozedur w-mal wiederholt wurde.

Hinweis :

Da die Berechnung von Hand doch recht mühsam ist, habe ich ein kleines Demoprogramm entwickelt, das die Enstehung des Bildes beim Scannen des Originals zu beobachten erlaubt. Man sieht, wie das Bild langsam aus zunächst völlig unkenntlichen Vorstufen buchstäblich "Kontur" gewinnt und dem Original immer ähnlicher wird. Falls der Spieltrieb erwacht sein sollte, sehen Sie sich mein Java-Applet an (siehe unten).

Letzte Berichtigung : 08.01.2002

Tomographie, Folge 1

Tomographie, Folge 2

Neuerdings (seit 25.9.99) eine Simulation zum Spielen als Applet