Nach oben

Zur Problematik der notwendigen Datums-Transformation beim GPS-Empfang in Deutschland.

  1. Einführung 

  2. Die Einzelschritte bei der Datums-Transformation 

  3. Die 7 Parameter für die Helmert-Transformation 

  4. Zur erzielten Genauigkeit der Transformation   

  5. Formeln und ein durchgerechnetes Zahlenbeispiel für eigene Berechnungen 

  6. Hier die Beschreibung zweier Applets zum systematischen Ausprobieren

 

Einführung

  • Die geographischen Koordinaten eines Standortes, also die Länge und Breite, sind leider nicht eindeutig sondern vom jeweiligen sog. Karten-Datum abhängig. Die Verhältnisse sind speziell in Deutschland so, dass unsere Karten, z. B. die topographischen Karten der Landesvermessungsämter im sog. Potsdam-Datum vorliegen. Die vom GPS-Empfänger gelieferten Längen- und Breitengrade beziehen sich aber auf das sog. WGS84-Datum.
  • Ein Beispiel : Bei einer GPS-Angabe von 48.445541 ° Nord und 7.893705 ° Ost liegt der entsprechende Punkt auf der Karte an anderer Stelle, nämlich bei 48.446525 ° Nord und 7.894571 ° Ost. Der Abstand dieser Positionen beträgt immerhin 127 m, ist also größer als die typische GPS-Unsicherheit (zumal seit dem Mai 2000 !).
  • Wenn wir also den vom Empfänger angezeigten Punkt auf der Karte suchen, liegt er scheinbar zu weit südlich und zu weit westlich.
  • Fehler bei Messungen sind natürlich unvermeidlich, die Frage ist nur, in welcher Höhe sie toleriert werden können. Es ist ja hinreichend bekannt, dass die Unsicherheit bei GPS-Messungen ohnehin - hauptsächlich früher, zu Zeiten der sog. SA (Selective Availability) - auf bis zu 100 m veranschlagt werden musste. Heutzutage, wo nach Abschalten des SA diese Positionsunsicherheiten deutlich geringer geworden sind, ist die Angelegenheit natürlich noch dringlicher geworden.  Es sollte natürlich das Ergebnis durch zusätzliche vermeidbare Fehler nicht wieder drastisch verschlechtert werden. Daher hat mich interessiert, mit welchem Fehler der "Datums-Unterschied" alleine das Ergebnis  belastet.
  • Bei Überprüfung von 11 Punkten in Baden-Württemberg waren es immerhin durchschnittlich 130 m, die also, wenn man dies nicht entsprechend berücksichtigt, die Genauigkeit der GPS-Ergebnisse zusätzlich mindern.

 

   

 

Diese Grafik gibt die Verhältnisse an den 11 überprüften Punkten maßstäblich zutreffend wieder. Dabei wurde so verfahren, dass die Potsdam-Position aller 11 Punkte an die gleiche Stelle in der Bildmitte gelegt ist. Die WGS84-Positionen derselben Punkte liegen nun in etwas unterschiedlicher Weise südwestlich daneben.

  • Bei Betrachtung der Grafik wird klar, dass ein konstanter Korrekturwert für alle diese Punkte offensichtlich nicht taugen würde. Es darf daher keinesfalls angenommen werden, man könnte das Problem dadurch lösen, dass man an den gemessenen Positionen einfach einen konstanten Wert als Verbesserung anbringt. Die genaue Abweichung ist nämlich in komplizierterer Weise von der jeweiligen Lage der Punkte in Baden-Württemberg abhängig.

Zum Seitenanfang

Die einzelnen Schritte der Transformation

  • Im ersten Schritt werden die geographischen Koordinaten im WGS84-Datum (Länge und Breite und Höhe - als Höhe über dem WGS84-Ellipsoid, nicht zu verwechseln mit der Höhe über dem entspr. Geoid), wie sie z.B. der GPS-Empfänger liefert, in Kartesische Koordinaten überführt. Diese Operation ist unproblematisch und führt zu ECEF (earth-centered-earth-fixed) Koordinaten, d.h. je einem X-, einem Y- und einem Z-Wert. Der Ursprung dieses Koordinatensystems liegt im Erdmittelpunkt. Von dort geht die X-Achse beim Null-Meridian durch den Äquator, die Y-Achse geht bei 90 ° östlicher Länge durch den Äquator und die Z-Achse geht vom Erdzentrum durch den Nordpol.
  • Der zweite Schritt transformiert die WGS84-XYZ-Werte in XYZ-Werte des Bessel-Ellipsoids mit dem Zentralpunkt Rauenberg (bei Potsdam). Dieser Schritt ist problematischer und er wird über eine sog. 7-Parameter-Helmert-Transformation bewerkstelligt. Die 7 Parameter bestehen aus 3 Translations-, 3 Rotations-Werten und einem Maßstabsfaktor. Natürlich hängt die erzielbare Genauigkeit der Transformation von diesen 7 Werten ab. Das Ergebnis der Transformation sind dann neue XYZ-Koordinaten (Bessel Ellipsoid).
  • Im dritten Schritt werden danach die Bessel XYZ-Koordinaten in geographischen Koordinaten im Potsdam-Datum umgerechnet. Auch dieser Schritt ist unproblematisch und führt nach einem kleinen Rechenaufwand zu den gewünschten Breiten und Längen, die zu unseren deutschen Karten passen. Die hier anfallende Höhe ist die Höhe über dem Bessel-Ellipsoid.
  • Es kann sich nun noch ein vierter Schritt anschließen, der auch noch die Rechts- und Hochwerte nach Gauß-Krüger liefert. Mit diesen Koordinaten arbeiten unsere Vermessungs-Ingenieure. Sie haben - im Gegensatz zu den Längen und Breiten - den Vorteil in der Einheit Meter gegeben zu werden. Damit sind dann kleinere Entfernungen zwischen 2 Punkten einfach über den Pythagoras-Satz berechenbar. So ist etwa ein Punkt mit dem Rechtswert R1 = 3420855.20 m und dem Hochwert H1 = 5394900.64  um 30.43 m westlicher und 19.73 m südlicher als der Punkt mit dem Rechtswert R2 = 3420885.63 m und dem Hochwert H2 = 5394880.91 m. Nach dem Satz des Pythagoras beträgt ihr Abstand dann 36.27 m.

Zum Seitenanfang

Die 7 Parameter für die Helmert-Transformation

  • Für den oben erwähnten zweiten, den eigentlichen Transformationsschritt werden die genannten 7 Parameter gebraucht. Die drei ersten, sog. Translationsparameter beschreiben jeweils, um wie viel Meter der Ursprung des neuen XYZ-Systems, also das Zentrum des Bessel-Ellipsoids, in den drei Richtungen vom Erdzentrum entfernt liegt. Die folgenden drei Rotationsparameter geben an um wie viel Winkelsekunden die 3 Achsen bei der Transformation gedreht werden und der 7. Parameter ist ein Maßstabsfaktor, der der "unterschiedlichen Größe der Maßstäbe" in beiden Systemen Rechnung trägt.
  • Wie sehen nun diese 7 Parameter aus, auf die es so sehr ankommt ? Ich kenne im Augenblick 2 verschiedene Quellen, aus denen man die Parameter bekommen kann. Einen Satz Werte habe ich vor einigen Jahren vom Institut für angewandte Geodäsie in Frankfurt (IfaG) erworben (leider nicht kostenlos). Im Internet  findet sich von Stefan Voser eine andere Parameterliste mit 2 verschiedenen Parametersätzen:

Bitte beachten Sie : Die zitierten Parameter sind für die Umrechnung vom Potsdam-Datum in das WGS84-Datum bestimmt ! 

          dx = 586 m, dy = 87 m, dz = 409 m, rx = -0.52 ", ry = -0.15 ", rz = 2.82 " und ds = 9 ppm (entspricht : 1.000009)

          dx = 582 m, dy = 105 m, dz = 414 m, rx = -1.04 ", ry = -0.35 ", rz = 3.08 " und m = 9 ppm (entspricht: 1.000009)

Für die inverse Transformation (von WGS84 nach Potsdam) lauten dann die Parameter :

dx= - 586 m, dy = - 87 m, dz = -409 m, rx = 0.52 ", ry = 0.15", rz = - 2.82" ,Maßstab: = 0.999991) , bzw

dx = - 582 m, dy = - 105 m, dz = - 414 m, rx = 1.04 ", ry = 0.35 ", rz = -3.08 ", Maßstab = 0.999991

  • Kann man vielleicht auch selbst diese Parameter berechnen ? Die Antwort lautet "ja, aber". Erstens braucht man zur eigenen Berechnung eine Reihe möglichst gleichmäßig über das betrachtete Gebiet verteilter "identischer Punkte". Das sind für diese Punkte dann jeweils die XYZ-Koordinaten in beiden Systemen, also ECEF-WGS84-XYZ- und Bessel-Ellipsoid-(Zentralpunkt Rauenberg)-XYZ-Werte. Wenn man diese Koordinaten - zum Beispiel von Landesvermessungsämtern - kauft, kann man die Parameter daraus selbst errechnen, was mir allerdings wegen mangelnder mathematischer Bildung ziemlich schwer fiel. Wie ich es neuerdings mache können Sie in dieser Folge nachlesen.

Zum Seitenanfang

Zur erzielten Genauigkeit der durch Transformation gewonnenen Parameter

  • Ich habe die Koordinaten von insgesamt 11 Punkten in Baden-Württemberg und habe für diese Punkte jeweils die Transformation durchgeführt. Es entstehen natürlich Abweichungen zwischen den berechneten und den bekannten Koordinaten für diese 11 Punkte. Dass man nicht zu hohe Erwartungen an die Rechenergebnisse stellen darf ist einleuchtend, wenn man bedenkt, dass die 7 Parameter vom IfaG für die gesamte Bundesrepublik gelten. Es ist aber immerhin bemerkenswert, dass ich für meine 11 Punkte im Mittel nur Abweichungen von 0.95 m (± 0.6 m Standardabweichung) festgestellt habe. Dies ist für GPS- und sogar DGPS-Anwendungen sicher ausreichend weil die mit diesen Methoden ermittelten Koordinaten deutlich geringere Genauigkeiten bieten.
  • Mit den Werten aus der obigen Internet-Quelle ergaben sich sogar geringfügig bessere Werte: Der Mittelwert der Abweichungen betrug hier 0.83 m (Standardabweichung: ± 0.5 m).
  • Aus den 11 identischen Punkten habe ich eigene Parameter berechnet, die in diesem Gebiet eine mittlere Abweichung von nur 12 cm (± 10 cm Standardabweichung) ergaben. Es ist aber nicht zu erwarten, dass ähnlich geringe Abweichungen in der gesamten Bundesrepublik erzielt werden könnten, denn dazu hätten bei der Ermittlung der Parameter auch identische Punkte zur Verfügung stehen müssen, die sich über das gesamte Gebiet verteilen. Es wäre daher zu wünschen, mit weiteren Punkten aus allen Bundesländern auch eigene Parameter zu bestimmen und die Ergebnisse auch an Punkten in allen Bundesländern zu überprüfen.

Zum Seitenanfang

 

Mit den folgenden Applets können Sie die Datumstransformation experimentell erkunden

  • Das Applet erlaubt wahlweise die Eingabe der WGS-Längen, -Breiten und -Höhen (ellipsoidische Höhen über dem WGS84-Ellipsoid) oder der entsprechenden X-,Y- und Z-Werte (ebenfalls im WGS84-System).
  • Bei Betätigen des grünen Buttons ("Berechnen") werden die entsprechenden Werte im Potsdam-Datum gewonnen und angezeigt. Die berechnete Höhe ist jetzt die Höhe über dem Bessel-Ellipsoid.
  • Zusätzlich erscheinen auch die Gauß-Krüger-Koordinaten der berechneten Position.
  • Die 7 Parameter für die Helmert-Transformation können verändert werden. Der Einfluss dieser Parameter auf das Ergebnis lässt sich so systematisch untersuchen. Probieren Sie mal, wie sich eine Veränderung der letzten Ziffer eines Parameters auswirkt.
  • Es kann erkundet werden, ob - und ggf. wie stark sich unterschiedliche WGS84-Höhen auf die Lage (Gauß-Krüger-Koordinaten) auswirken, wie stark sie also die horizontale Lage mit beeinflussen.
  • Zur leichteren Abschätzung des Einflusses bei Veränderung der Parameter, wird auch der Abstand des neuen Lagepunktes vom letzten Lagepunkt berechnet und angezeigt.
  • Interesse ? Dann gleich hin zum Applet !
  • In diesem zweiten Applet wird die umgekehrte Transformation praktiziert (vom Potsdam-Datum zum WGS84-Datum)

Zum Seitenanfang

 

Zu meiner Seite über die Zuverlässigkeit der Datumstransformation im GPS-Empfänger Garmin 12XL

Zurück zur Seite "Kartendatum".

Letzte Aktualisierung : 13.05.2003