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Bestimmung der geographischen Breite durch Messung der Zenitabstände beim Meridiandurchgang zenitnaher Sterne

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( mit zugehörigem Applet für die Erstellung eines Beobachtungsfahrplanes, siehe ganz unten ! )

Zunächst zur Erinnerung :

  • Zenit heißt der Punkt am Himmel senkrecht über dem Beobachter
  • Meridian heißt der Längengrad, auf dem sich der Beobachter befindet, also z.B. -7,9421 °. Wenn ein Stern meinen Längengrad überquert, dann hat er für meinen Standort normalerweise seine höchste Erhebung über dem Horizont. Man sagt auch, der Stern habe dort seine "obere" Kulmination, denn seine Erhebung über dem Horizont ist sowohl vorher wie auch nachher geringer.
  • Die durch das Wort "normalerweise" anklingende Ausnahme betrifft die Möglichkeit, dass gewisse Sterne den Himmelsmeridian (siehe weiter unten) zweimal überschreiten, einmal davon unter dem Himmelsnordpol. An diesem Punkt hat der Stern dann seine niedrigste Höhe über dem Horizont. Man spricht von der "unteren" Kulmination. Es handelt sich also um Sterne, die immer, also auch bei ihrem niedrigsten Stand, über dem Horizont stehen und "zirkumpolare Sterne" heißen, weil sie nie "untergehen". Diese Sterne haben demgemäß noch eine "obere" Kulmination, d.h. sie durchschreiten den Himmelsmeridian beim zweiten Mal oberhalb vom Polarstern (näher am Zenit).
  • Am Himmel entspricht dem oben erwähnten Meridian ein sog. "Himmelsmeridian", nämlich eine gedachte Linie, die durch eine gedachte Projektion des Meridians vom Erdmittelpunkt aus an die "Himmelskugel" "entsteht". Sie führt vom Nordpunkt am  Horizont über den Himmelspol und den Zenit nach Süden zum Südpunkt des Horizonts.
  • Bei bekanntem Längengrad der Position des Beobachters, lässt sich aus den Daten der Fixsterne in Sternkatalogen oder Jahrbüchern der Zeitpunkt sekundengenau angeben, an dem ein bestimmter Stern den Himmelsmeridian überschreitet. Man nennt diese Zeit den Kulminationszeitpunkt.

Für die hier behandelte Breitenbestimmung gilt es, den Abstand (Winkelabstand in Grad) zu messen, den der betreffende Stern im Augenblick des Meridiandurchgangs vom Zenit hat. Dieser Winkelabstand heißt Zenitabstand. Wenn er den Zenit selbst durchläuft, dann ist sein Zenitabstand natürlich 0 Grad, wenn er den Meridian südlich vom Zenit durchläuft, dann nennt man ihn einen "Südstern" und sein Zenitabstand ist umso größer je tiefer über dem Horizont er den  Himmelsmeridian passiert. Der Zusammenhang zwischen Höhe h (über dem Horizont in Grad) und Zenitdistanz z (in Grad) ist also ganz einfach, nämlich : h + z = 90° . Der maximal mögliche Zenitabstand beträgt demnach 90°, wenn nämlich der Südstern gerade eine wahre Höhe von  0° hat.

Sterne, die den örtlichen Meridian nördlich vom Zenit überqueren, heißen "Nordsterne". Auch ihre Zenitdistanzen können von 0° bis maximal 90° betragen und sind für unser Vorhaben im Augenblick des Meridiandurchganges zu messen. Es ist einer bestimmten Zenitdistanz, die wieder in Grad gemessen und angegeben wird (ohne ein Vorzeichen !) , nicht unmittelbar anzusehen, ob sie von einem Meridiandurchgang südlich oder nördlich des Zenits stammt. Daher wird dies bei den gemessenen Werten zusätzlich durch ein "S" oder "N" vermerkt.

Zwischen der geographischen Breite des Beobachtungsstandortes und dem Zenitabstand eines Sterns, dessen "Deklination" - wie die Breite ebenfalls gemessen in Grad - bekannt ist, besteht der sehr einfache Zusammenhang :

Für Südsterne :   Breite = Deklination + Zenitdistanz (beim Meridiandurchgang) ,

für Nordsterne :   Breite = Deklination - Zenitdistanz (beim Meridiandurchgang).

Mit diesen beiden Formeln könnte man also die Breite aus der gemessenen Zenitdistanz und der aus dem Sternkatalog - nach einer allerdings noch zusätzlich erforderlichen Umrechnung - entnommenen Deklination des betreffenden Sterns die Breite des Standortes berechnen, sofern nur noch feststünde, ob es sich um einen Nord- oder einen Südstern handelt.

Dass man tunlichst solche Sterne auswählt, deren Zenitdistanz klein ist, geschieht deswegen, weil die Unsicherheit der "wahren Höhe" dort kleiner ist als bei großen Zenitabständen und damit geringen Höhen (über dem Horizont). Wegen der sog. atmosphärischen Refraktion verläuft nämlich der Lichtweg nicht geradlinig durch die Atmosphäre sondern umso mehr gekrümmt, je tiefer der Stern am Horizont steht. Solche Sterne erscheinen uns in einer "scheinbaren Höhe", die nicht beliebig genau in die "wahre Höhe" umgerechnet werden kann. Es gilt aber, dass die wahre Höhe stets kleiner ist als die scheinbare Höhe - und dass dieser Unterschied in Zenitnähe nur gering ist. Aber auch in Zenitnähe gibt es einen gewissen Einfluss der Refraktion und er ist auch bei Kenntnis von Lufttemperatur und Luftdruck nicht exakt berechenbar, insbesondere weil es auch noch weitere Einflussfaktoren gibt, wie die Lichtwellenlänge, die Luftfeuchtigkeit und gelegentlich auch spezielle Wetterverhältnisse (z. B. Inversions-Wetterlagen), die die Unsicherheit vergrößern.

Eine "pfiffige" Möglichkeit zur Eliminierung der Refraktionseinflüsse gründet sich auf die Zenitsymmetrie der Refraktion. Es gilt danach nämlich, dass nach wie vor der genaue Betrag der Refraktion unbekannt ist, aber bei gleicher Zenitdistanz eines Süd- und eines Nordsterns mit guter Zuverlässigkeit als gleich gelten darf. Durch einen Rechenkniff kann man nun erreichen, dass bei Einbeziehen je eines Süd- und eines Nordsterns (eines in diesem Zusammenhang so genannten "Sternpaares") mit möglichst gleich großer Zenitdistanz sich die beiden   Refraktionsunsicherheiten gegenseitig aufheben !

Die "wahre" Zenitdistanz (zws) für einen Südstern und die gemessene Zenitdistanz (zgs) unterscheiden sich um den unbekannten Refraktionsteil  rfs und es gilt :

zws = zgs + rfs

Entsprechend gilt für die "wahre" und die "gemessene" Zenitdistanz eines Südsterns

zwn = zgn + rfn

Wenn wir die gesuchte Breite f nennen und die Deklinationen des Nordsterns dn, bzw. die des Südsterns ds dann kann man schreiben :

Für Südsterne : f = ds + (zgs + rfs)     und entsprechend gilt für Nordsterne :  f = dn - (zgn + rfn)

Nach Addition der beiden Gleichungen resultiert : 2 · f =   ds + zgs + rfs + dn - zgn - rfn

wenn nun bei ungefähr gleich großer Zenitdistanz des Sternpaares gelten kann : rfs = rfn, dann ergibt sich : rfs - rfn = 0,  und folglich :

f = (ds + zgs + dn - zgn) / 2

So einfach ist das also, nur drauf kommen muss halt jemand ! Es werden dabei Namen genannt, die ich einfach zitieren möchte, ohne dass ich selbst weiter recherchiert hätte : Horrebow und Talcott, bzw. Sterneck.

Da in diesem Falle nur die Breite gemessen wird, ist eine exakte Zeitmessung hier nicht erforderlich. Freilich ist die Meridiandurchgangszeit zu beachten, aber das muss nicht unbedingt sekundengenau sein. Auch Temperatur und Luftdruck   müssen nicht gemessen werden. Lediglich zur richtigen Zeit muss mit dem Theodolit (mit Zenitprisma) die Zenitdistanz eines Südsterns und kurz danach diejenige eines Nordsterns gemessen werden, wobei deren Zenitdistanzen sich möglichst um weniger als 5 ° unterscheiden sollten. Auch die zeitliche Distanz darf nicht zu groß werden, damit für beide Beobachtungen möglichst gleiche Wetterbedingungen und damit Refraktionen herrschen und die Annahme   rfs = rfn  möglichst gut gilt.

Es bleibt nun lediglich ein Problem, nämlich die Erstellung eines Zeitplanes für die Beobachtungen, der einem geeignete Sternpaare mit möglichst ähnlicher Zenitdistanz und zeitlich passend auflistet. Ich habe die dazu erforderliche recht lästige Sucherei in einem Jahrbuch mit dem unten folgenden Applet entbehrlich gemacht.

Dort trägt man seine ungefähren Koordinaten ein (Länge sollte bekannt sein und die Breite näherungsweise) und das Datum des Tages, an dem beobachtet werden soll. Es wird der beabsichtigte Zeitrahmen (Stunde des Beginns der Beobachtungen am Abend und Stunde des Endes der Messungen am gleichen Abend oder nächsten Morgen) eingegeben. Auch die maximal zugelassene Zenitdistanz kann vorgegeben werden. Schließlich kann auch die maximal zugelassene Differenz der Zenitdistanzen gewählt werden. Ideal wäre natürlich 0 °, wenn also beide Sterne, der Süd- und der Nordstern, gleich weit vom Zenit entfernt wären aber praktisch muss man manchmal doch bis zu 5 ° zulassen, damit man überhaupt passende Sterne findet.

Im zugehörigen Textbereich wird eine Liste der infrage kommenden Sterne ausgegeben (Mit der für die Rechnung erforderlichen Deklination für jeden der aufgezählten Sterne) und daran anschließend eine weitere Liste mit den jeweils daraus bestimmten geeigneten Sternpaaren. Für das erforderliche Umschwenken des Theodolits von einem Nord- auf einen Südstern oder umgekehrt werden mindestens 3 Minuten Zeitlücke zugestanden und als maximalen Zeitabstand für die Passagezeiten eines Sternpaares gibt das Applet 20 Minuten vor.

Es empfiehlt sich, die Listen in die Zwischenablage zu kopieren, dann in eine Textverarbeitung zu übertragen und für die Beobachtung von dort auszudrucken.


Diese Seite entstand am 27.12.1999.

Letzte Aktualisierung :  Text, 07.01.2002 ,     Applet, 25.01.2001

Für die unentbehrliche Hilfe, die ich zu diesem Thema erhielt, bedanke ich mich herzlich bei Herrn Dipl.Ing. Bernd Scherer

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